Аксіоми і теореми

В основі науки геометрії лежать твердження, які не потребують доведення. Вони називаються аксіомами.

Аксіоми планіметрії — це основні властивості найпростіших геометричних фігур.

Аксіомами планіметрії є:

1. Для будь-якої прямої існують точки, що належать їй, і точки, що не належать їй.

2. Через будь-які дві різні точки можна провести пряму і лише одну.

3. Із трьох точок на прямій одна і лише одна лежить між двома іншими.

4. Кожний відрізок має певну довжину.

5. Кожний кут має певну градусну міру.

6. Через точку, що не лежить на даній прямій, можна провести пряму, паралельну даній прямій, і лише одну.

Твердження, які потребують доведення їх істинності за допомогою аксіом або логічних міркувань, називаються теоремами. Наприклад, теоремою є твердження: Внутрішні різносторонні кути при паралельних прямих і січній рівні.

Найважливіші теореми, за допомогою яких можна перевірити виконання якоїсь властивості, називаються ознаками. Наприклад: Якщо при перетині двох прямих січною внутрішні різносторонні кути рівні або сума внутрішніх односторонніх кутів дорівнює 180 градусам, то задані прямі паралельні.

Історичні відомості.

Слово «аксіома» у перекладі з грецької означає «гідність, повага, авторитет», що в переносному розумінні означає: внаслідок свого авторитету не підлягає сумніву, незаперечне. Уперше цей термін застосував старогрецький філософ Аристотель. Тривалий час математики під аксіомами розуміли ті істини або положення, які внаслідок їх очевидності можна прийняти без доведення. У сучасній математиці терміну «аксіома» надали ширшого значення: аксіома — це одне з вихідних тверджень, які прийнято без доведення і покладено в основу якоїсь теорії.